Кольцо, в котором введено отношение «быть больше нуля» (обозначается а > 0), называется расположенным кольцом , если для любых элементов этого кольца выполняются два условия:
1) справедливо одно и только одно из условий
a > 0 \/ –a >0 \/ a = 0
2) a > 0 /\ b > 0 => a + b > 0 /\ ab > 0.
Множество, в котором введено некоторое отношение порядка – нестрогого (рефлексивно, антисимметрично и транзитивно), либо строгого (антирефлексивно и транзитивно) называется упорядоченным . Если выполняется закон о трихотомии, то множество называется линейно упорядоченным. Если мы будем рассматривать не произвольное множество, а некоторую алгебраическую систему, например, кольцо или поле, то для упорядоченности такой системы вводятся также требования монотонности относительно вводимых в данной системе (алгебраической структуре) операций. Так упорядоченным кольцом/полем называется ненулевое кольцо/поле, в котором введено отношение линейного порядка (a > b), удовлетворяющее двум условиям:
1) а > b => a + c > b + c;
2) а > b, c > 0 => a c > b c;
Теорема 1. Всякое расположенное кольцо является упорядоченной системой (кольцом).
Действительно, если в кольце введено отношение «быть больше 0», то можно ввести и отношение больше для двух произвольных элементов, если положить, что
a > b a – b > 0.
Такое отношение является отношением строгого, линейного порядка.
Данное отношение «больше» является антирефлексивным, так как условие а > a равносильно условию а – а > 0, последнее же противоречит тому, что а – а = 0 (по первому условию расположенного кольца элемент не может быть одновременно больше 0 и равен 0). Таким образом, утверждение а > a является ложным для любого элемента а, поэтому отношение антирефлексивно.
Докажем транзитивность: если а > b и b > c, то a > c. По определению, из условия теоремы следует, что a – b > 0 и b – c > 0. Складывая эти два элемента большие нуля, мы снова получим элемент больший нуля (согласно второму условию расположенного кольца):
a – b + b – c = а – с > 0.
Последнее же означает, что а > c. Таким образом, введённое отношение является отношением строгого порядка. Более того, данное отношение является отношением линейного порядка, то есть для множества натуральных чисел справедлива теорема о трихотомии :
Для любых двух натуральных чисел справедливо одно и только одно из следующих трёх утверждений:
Действительно (в силу первого условия расположенного кольца) для числа a – b справедливо одно и только одно из условий:
1) a – b > 0 = > a > b
2) – (a – b) = b – a > 0 => b > a
3) a – b = 0 = > a = b.
Свойства монотонности также выполняются для любого расположенного кольца. Действительно
1) а > b => a – b > 0 = > a + c – c – b > 0 = > a + c > b + c;
2) а > b /\ c > 0 => a – b > 0 => (по второму условию расположенного кольца) (a – b)c > 0 => ac – bc > 0 => ac > bc.
Таким образом, мы доказали, что любое расположенное кольцо является упорядоченным кольцом (упорядоченной системой).
Для всякого расположенного кольца будут также справедливыми следующие свойства:
а) a + c > b + c => а > b;
б) а > b /\ c > d => a + c > b + d;
в) а > b /\ c < 0=> ac < bc;
Те же свойства имеют место и для других знаков <, , .
Докажем, например, свойство (в). По определению, из условия a > b следует, что а – b > 0, а из условия с < 0 (0 > c) следует, что 0 – с > 0, а значит и число – с > 0, перемножим два положительных числа (а – b)(–c). Результат также будет положительным по второму условию расположенного кольца, то есть
(а – b)(–c) > 0 => –аc + bc > 0 => bc – ac > 0 => bc > ac => ac < bc,
что и требовалось доказать.
г) аа = а 2 0;
Доказательство : По первому условию расположенного кольца либо а > 0, либо –а > 0, либо а = 0. Рассмотрим эти случаи отдельно:
1) а > 0 => aa > 0 (по второму условию расположенного кольца) => a 2 > 0.
2) –а > 0 => (–а)(–а) > 0, но по свойству кольца (–а)(–а) = аа = a 2 > 0.
3) а = 0 => аа = a 2 = 0.
Таким образом, во всех трех случаях a 2 либо больше нуля, либо равно 0, что как раз и означает, что a 2 ≥ 0 и свойство доказано (заметим, что мы также доказали, что квадрат элемента расположенного кольца равен 0 тогда и только тогда, когда сам элемент равен 0 ).
д) ab = 0 a = 0 \/ b = 0.
Доказательство : Предположим противное (ab =0, но ни а, ни b нулю не равны). Тогда для а возможны только два варианта, либо а > 0, либо – а > 0 (вариант а = 0 исключен нашим предположением). Каждый из этих двух случаев распадается еще на два случая в зависимости от b (либо b > 0, либо – b > 0). Тогда возможны 4 варианта:
a > 0, b > 0 => ab > 0;
– а > 0, b > 0 => ab < 0;
a >0, – b > 0 => ab < 0;
– а > 0 –b > 0 => ab > 0.
Как видим, каждый из этих случаев противоречит условию ab = 0. Свойство доказано.
Последнее свойство означает, что расположенное кольцо является областью целостности, что также является обязательным свойством упорядоченных систем.
Теорема 1 показывает, что любое расположенное кольцо является упорядоченной системой. Верно и обратное – любое упорядоченное кольцо является расположенным. Действительно, если в кольце есть отношение a > b и любые два элемента кольца сравнимы между собой, то и 0 сравним с любым элементом а, то есть либо а > 0, либо а < 0, либо а = 0, что почти точно совпадает с первым условием расположенного кольца, требуется только доказать, что условие а < 0 равносильно в упорядоченном кольце условию –a > 0. Для того, чтобы доказать последнее, применим свойство монотонности упорядоченных систем: к правой и левой части неравенства а < 0 прибавим –а, в результате чего получим требуемое.
Второе условие расположенного кольца вытекает из свойств монотонности и транзитивности:
a > 0, b > 0 => а + b > 0 + b = b > 0 => a +b >0,
a > 0, b > 0 => аb > 0b = 0 => ab > 0.
Теорема 2. Кольцо целых чисел является расположенным кольцом (упорядоченной системой).
Доказательство:
Воспользуемся определением 2 кольца
целых чисел (см. 2.1). Согласно данному
определению любое целое число это либо
натуральное число (число n
задаётся как [
a > 0 а N
Тогда первое условие расположенного кольца автоматически выполняется для целых чисел: если а – натуральное, то оно больше 0, если а – противоположное натуральному, то –а – натуральное, то есть тоже больше 0, возможен также вариант а = 0, который также делает истинной дизъюнкцию в первом условии расположенного кольца. Справедливость второго условия расположенного кольца следует из того, что сумма и произведение двух натуральных чисел (целых чисел больше нуля) есть снова число натуральное, а значит и большее нуля.
Таким образом, все свойства расположенных колец автоматически переносятся на все целые числа. Кроме того, для целых чисел (но не для произвольных расположенных колец) справедлива теорема о дискретности:
Теорема о дискретности. Между двумя соседними целыми числами нельзя вставить никакое целое число:
( а, х Z ) .
Доказательство : рассмотрим все возможные случаи для а, и будем предполагать противное, то есть, что существует такой х, что
а < x < a +1.
1) если а – натуральное число, то и а + 1 – натуральное. Тогда по теореме о дискретности для натуральных чисел между а и а / = а + 1 нельзя вставить никакое натуральное число x, то есть х, во всяком случае, не может быть натуральным. Если предположим, что х = 0, то наше предположение о том, что
а < x < a +1
приведет нас к условию а < 0 < a + 1 (здесь мы просто подставили х = 0), откуда видим, что а < 0, что противоречит тому, что а – натуральное. Если х не натуральное и не 0, но х – целое, значит –х – натуральное, тогда х < 0. При этом, согласно нашему предположению, а < x, что по свойству транзитивности опять приводит к тому, что а < 0, что невозможно, так как а – натуральное. Таким образом, для натуральных а утверждение а < x < a +1 всегда ложно, и теорема справедлива.
2) а = 0. Тогда а + 1 = 1. Если выполняется условие а < x < a + 1, то мы получим 0 < x < 1, то есть с одной стороны х – натуральное (целое, большее нуля), а с другой стороны х меньше 1, что невозможно для натуральных чисел. Таким образом, для нуля наша теорема справедлива.
3) а – отрицательно (–a > 0), тогда а + 1 0. Если а + 1 < 0, то умножая условие а < x < a + 1 на –1 получим:
–а–1 < – x < –a,
то есть приходим к ситуации рассмотренной в первом случае (так как и –а–1, и –а натуральные), откуда – х не может быть целым числом, а значит и х – не может быть целым. Ситуация, когда а + 1 = 0, означает, что а = –1, то есть
–1 < x < 0.
Умножением данного неравенства на (–1), приходим к случаю 2. Таким образом во всех ситуациях теорема справедлива.
Терема Архимеда. Для любого целого числа а и целого b > 0 существует такое натуральное n, что a < bn.
Для натурального а теорема уже была доказана, так как условие b > 0 означает натуральность числа b. Для а 0 теорема также очевидна, так как правая часть bn есть число натуральное, то есть также больше нуля.
В кольце целых чисел (как и в любом расположенном кольце) можно ввести понятие модуля:
|a|
=
.
Справедливы свойства модулей:
1) |a + b| |a| + |b|;
2) |a – b| |a| – |b|;
3) |a b| = |a| |b|.
Доказательство: 1) Отметим, что из определения очевидно, что |a| есть величина всегда неотрицательная (в первом случае |a| = a ≥ 0, во втором |a| = –а, но а < 0, откуда –а > 0). Также справедливы неравенства |a| ≥ a, |a| ≥ –a (модуль равен соответствующему выражению, если оно неотрицательно, и больше его, если оно отрицательно). Аналогичные неравенства справедливы и для b: |b| ≥ b, |b| ≥ –b. Складывая соответствующие неравенства и применяя свойство (б) расположенных колец, получаем
|a| + |b| ≥ a + b |a| + |b| ≥ – a – b.
Согласно определению модуля
|a
+ b|
=
,
но оба выражения в правой части равенства, как показано выше, не превосходят |a| + |b|, что доказывает первое свойство модулей.
2) Заменим в первом свойстве а на а – b. Получим:
|a – b + b| ≤ |a – b| + |b|
|a | ≤ |a – b| + |b|
Перенесём |b| из правой части в левую с противоположным знаком
|a| – | b| ≤ |a – b| =>|a – b| |a| – |b|.
Доказательство свойства 3 предоставляется читателю.
Задача: Решить в целых числах уравнение
2у 2 + 3ху – 2х 2 + х – 2у = 5.
Решение : Разложим левую часть на множители. Для этого представим слагаемое 3ху = – ху + 4ху
2у 2 + 3ху – 2х 2 + х – 2у = 2у 2 – ху + 4ху – 2х 2 + х – 2у =
У(2у – х) + 2х(2у – х) – (2у – х) = (у + 2х – 1)(2у – х).
Таким образом, наше уравнение может быть переписано в виде
(у + 2х – 1)(2у – х) = 5.
Поскольку нам требуется решить его в целых числах, х и у должны быть числами целыми, а значит и множители в левой части нашего уравнения тоже являются числами целыми. Число же 5 в правой части нашего уравнения может быть представлено как произведение целых множителей только 4 способами:
5 = 51 = 15 = –5(–1) = –1(–5). Поэтому возможны следующие варианты:
1)
2)
3)
4)
Среди перечисленных систем только (4) имеет целочисленное решение:
х = 1, у = –2.
Задания для самостоятельного решения
№ 2.4. Для элементов а, b, c, d произвольного расположенного кольца доказать свойства:
а) a + c > b + c => а > b; б) а > b /\ c > d => a + c > b + d.
№ 2.5. Решить в целых числах уравнения:
|
а) у 2 – 2ху – 2х = 6; б) 2х 2 – 11ху + 12у 2 = 17; в) 35ху + 5х – 7у = 1; г) х 2 – 3ху + 2у 2 = 3; д) |
е) ху + 3х – 5у + 3 = 0; ж) 2ху – 3у 2 – 4у + 2х = 2; з) ху 2 + х = 48; и) 1! + 2! + 3! + … + n! = y 2 ; к) х 3 – 2у 3 – 4z 3 = 0 |
;№ 2.6. Найдите четырёхзначное число, являющееся точным квадратом и такое, что его первые две цифры равны между собой и последние две цифры равны между собой.
№ 2.7. Найдите двузначное число, равное сумме чисел его десятков и квадрата его единиц.
№ 2.8. Найдите двузначное число, которое равно удвоенному произведению его цифр.
№ 2.9. Докажите, что разность между трёхзначным числом и числом, записанным теми же цифрами в обратном порядке не может быть квадратом натурального числа.
№ 2.10. Найдите все натуральные числа, оканчивающиеся на 91, которые после вычёркивания этих цифр уменьшаются в целое число раз.
№ 2.11. Найдите двузначное число, равное квадрату его единиц, сложенному с кубом его десятков.
№ 2.12. Найдите шестизначное число, начинающееся с цифры 2, которое от перестановки этой цифры в конец числа увеличивается в 3 раза.
№ 2.13. На доске записано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое всех этих чисел равно – 3, среднее арифметическое положительных из них равно 4, а среднее арифметическое отрицательных из них равно – 8. Сколько чисел написано на доске? Каких чисел больше, положительных или отрицательных? Каково максимально возможное число положительных чисел?
№ 2.14. Может ли частное трехзначного числа и суммы его цифр быть равно 89? Может ли это частное быть равно 86? Каково максимально возможное значение данного частного?
Натуральные числа не являются кольцом, так как 0 не является натуральным числом, а также для натуральных чисел нет натуральных противоположных им. Структура, образуемая натуральными числами, называется полукольцом. Более точно,
Полукольцом называется коммутативная полугруппа по сложению и полугруппа по умножению, в которой операции сложения и умножения связаны дистрибутивными законами.
Введём теперь строгие определения целых чисел и докажем их эквивалентность. Исходя из представлений об алгебраических структурах и того факта, что множество натуральных числе является полукольцом, но не является кольцом, можно ввести следующее определение:
Определение 1. Кольцом целых чисел называется минимальное кольцо, содержащее в себе полукольцо натуральных чисел.
Данное определение ничего не сообщает о внешнем виде таких чисел. В школьном курсе целые числа определяются как натуральные числа, им противоположные и 0. Данное определение также можно взять за основу для построения строгого определения.
Определение 2. Кольцом целых чисел называется кольцо, элементами которого являются натуральные числа, им противоположные и 0 (и только они).
Теорема 1 . Определения 1 и 2 эквивалентны.
Доказательство : Обозначим через Z 1 кольцо целых чисел в смысле определения 1, а через Z 2 – кольцо целых чисел в смысле определения 2. В начале докажем, что Z 2 включается в Z 1 . Действительно, все элементы Z 2 это либо натуральные числа (они принадлежат Z 1 , так как Z 1 содержит в себе полукольцо натуральных чисел), либо им противоположные (они тоже принадлежат Z 1 , так как Z 1 кольцо, а значит для каждого элемента этого кольца существует противоположный, и для каждого натурального n Î Z 1 , –n также принадлежит Z 1), либо 0 (0 Î Z 1 , так как Z 1 кольцо, а в любом кольце имеется 0), таким образом, любой элемент из Z 2 принадлежит также и Z 1 , а значит Z 2 Í Z 1 . С другой стороны, Z 2 содержит в себе полукольцо натуральных чисел, а Z 1 является минимальным кольцом, содержащим в себе натуральные числа, то есть не может содержать в себе никакого другого кольца, удовлетворяющего этому условию. Но мы показали, что оно содержит в себе Z 2 , а значит Z 1 = Z 2 . Теорема доказана.
Определение 3. Кольцом целых чисел называется кольцо, элементами которого являются все возможные элементы, представимые в виде разности b – а (все возможные решения уравнения a + x = b), где а и b – произвольные натуральные числа.
Теорема 2 . Определение 3 эквивалентно двум предыдущим.
Доказательство : Обозначим через Z 3 кольцо целых чисел в смысле определения 3, а через Z 1 = Z 2 , как и раньше, – кольцо целых чисел в смысле определения 1 и 2 (их равенство уже установлено). Сначала докажем, что Z 3 включается в Z 2 . Действительно, все элементы Z 3 можно представить в виде некоторых разностей натуральных чисел b – а. Для любых двух натуральных чисел по теореме о трихотомии возможно три варианта:
В этом случае разность b – а также является числом натуральным и потому принадлежит Z 2 .
В этом случае разность двух равных между собой элементов обозначим символом 0. Докажем, что это действительно нуль кольца, то есть нейтральный элемент относительно сложения. Для этого воспользуемся определением разности a – a = x ó a = a + x и докажем, что b + x = b для любого натурального b. Для доказательства достаточно прибавить к правой и левой части равенства a = a + x элемент b, а затем воспользоваться законом сокращения (все эти действия можно выполнять исходя из известных свойств колец). Нуль же принадлежит Z 2 .
В этом случае разность a – b есть число натуральное, обозначим
b – a = – (a – b). Докажем, что элементы a – b и b – a действительно являются противоположными, то есть в сумме дают нуль. В самом деле, если обозначить a – b = х, b – a = у, то получим, что a = b + х, b = у + a. Складывая почленно полученные равенства и сокращая b, получим a = х + у + a, то есть х + у = а – а = 0. Таким образом a – b = – (b – a) является числом противоположным натуральному, то есть вновь принадлежит Z 2 . Таким образом, Z 3 Í Z 2 .
С другой стороны Z 3 содержит в себе полукольцо натуральных чисел, так как любое натуральное число n всегда можно представить как
n = n / – 1 Î Z 3 ,
а значит Z 1 Í Z 3 , так как Z 1 является минимальным кольцом, содержащим в себе натуральные числа. Пользуясь уже доказанным фактом, что Z 2 = Z 1 , получаем Z 1 = Z 2 = Z 3 . Теорема доказана.
Хотя на первый взгляд может показаться, что никаких аксиом в перечисленных определениях целых чисел нет, данные определения являются аксиоматическими, так как во всех трёх определениях говорится, что множество целых чисел является кольцом. Поэтому аксиомами в аксиоматической теории целых чисел служат условия из определения кольца.
Докажем, что аксиоматическая теория целых чисел непротиворечива . Для доказательства необходимо построить модель кольца целых чисел, пользуясь заведомо непротиворечивой теорией (в нашем случае это может быть только аксиоматическая теория натуральных чисел).
Согласно определению 3, каждое целое число представимо в виде разности двух натуральных z = b – а. Сопоставим каждому целому числу z соответствующую пару
Введённое отношение является рефлексивным, симметричным и транзитивным (доказательство предоставляется читателю).
Как и всякое отношение эквивалентности, данное отношение порождает разбиение множества всевозможных пар натуральных чисел на классы эквивалентности, которые мы будем обозначать как [
1) [
2) [
Покажем, что введенные определения корректны, то есть не зависят от выбора конкретных представителей из классов пар. Иными словами, если эквивалентны пары
Доказательство : Применим определение эквивалентности пар:
Почленно сложив равенства (1) и (2), получим:
а + b 1 + с + d 1 = b + a 1 + d + c 1 .
Все слагаемые в последнем равенстве – натуральные числа, поэтому мы в праве применить коммутативный и ассоциативный законы сложения, что приводит нас к равенству
(а + с) + (b 1 + d 1)= (b + d) + (a 1 + c 1),
которое равносильно условию @ .
Для доказательства корректности умножения, равенство (1) умножим на с, получим:
ас + b 1 с= bс + a 1 с.
Затем перепишем равенство (1) в виде b + a 1 = а + b 1 и умножим на d:
bd + a 1 d = аd + b 1 d.
Почленно сложим полученные равенства:
ас + bd + a 1 d + b 1 с = bс + аd + b 1 d + a 1 с,
что означает, что
Затем ту же процедуру проделаем с равенством (2), только умножать его будем на а 1 и b 1 . Получим:
а 1 с + а 1 d 1 = а 1 d + а 1 c 1
b 1 d + b 1 c 1 = b 1 с + b 1 d 1 ,
а 1 с + b 1 d + b 1 c 1 + а 1 d 1 = а 1 d + b 1 d + b 1 c 1 + а 1 c 1 ó
ó @
(здесь мы доказали, что ×
Таким образом, корректность введённых определений доказана.
Далее непосредственно проверяются все свойства колец: ассоциативный закон сложения и умножения для классов пар, коммутативный закон сложения, дистрибутивные законы. Приведем в качестве примера доказательство ассоциативного закона сложения:
Так как все компоненты пар числа натуральные
= <(a + c) +m), (b + d) +n)> =
= <(a + c), (b + d)> +
Остальные законы проверяются аналогично (заметим, что полезным приёмом может служить отдельное преобразование левой и правой части требуемого равенства к одному и тому же виду).
Необходимо также доказать наличие нейтрального элемента по сложению. Им может служить класс пар вида [<с, с>]. Действительно,
[
а + c + b = b + c + a (справедливо для любых натуральных чисел).
Кроме того, для каждого класса пар [
Можно также доказать, что введённое множество классов пар есть коммутативное кольцо с единицей (единицей может служить класс пар [
[
Проверим, пользуясь данным правилом, справедливость условий С1 и С2 (из определения сложения натуральных чисел). Условие С1 (а + 1 = а /) в данном случае перепишется в виде:
[
[
a + c / +b = a + b + 1 + c = b + c + a +1 = b + с + a /
(ещё раз напомним, что все компоненты натуральные).
Условие С2 будет иметь вид:
[
Преобразуем отдельно левую и правую части данного равенства:
[
([
Таким образом, мы видим, что левые и правые части равны, значит условие С2 справедливо. Доказательство условия У1 предоставляется читателю. условие У2 является следствием дистрибутивного закона.
Итак, модель кольца целых чисел построена, а, следовательно, аксиоматическая теория целых чисел непротиворечива, если непротиворечива аксиоматическая теория натуральных чисел.
Свойства операций над целыми числами :
2) а×(–b) = –a×b = –(ab)
3) – (– a) = a
4) (–a)×(–b) = ab
5) a×(–1) = – a
6) a – b = – b + a = – (b – a)
7) – a – b = – (a +b)
8) (a – b) ×c = ac – bc
9) (a – b) – c = a – (b + c)
10) a – (b – c) = a – b + c.
Доказательства всех свойств повторяют доказательства соответствующих свойств для колец.
1) а + а×0 = а×1 + а×0 = a ×(1 + 0) = a×1 = а, то есть а×0 является нейтральным элементом по сложению.
2) а×(–b) + ab = a(–b + b) = a×0 = 0, то есть элемент а×(–b) является противоположным к элементу а×b.
3) (– a) + a = 0 (по определению противоположного элемента). Аналогично (– a) +(– (– a)) = 0. Приравнивая левые части равенств и применяя закон сокращения, получим – (– a) = а.
4) (–a)×(–b) = –(a×(–b)) = –(–(а×b)) = ab.
5) a×(–1) + а = a×(–1) + a×1 = a×(–1 + 1) = a×0 = 0
a×(–1) + а = 0
a×(–1) = –а.
6) По определению разности a – b есть такое число х, что а = х + b. Прибавляя к правой и левой части равенства –b слева и пользуясь коммутативным законом, получаем первое равенство.
– b + a + b – a = –b + b + а – a = 0 + 0 = 0, что доказывает второе равенство.
7) – a – b = – 1×a – 1×b = –1×(a +b) = – (a +b).
8) (a – b) ×c = (a +(–1)× b) ×c = ac +(–1)×bc = ac – bc
9) (a – b) – c = х,
a – b = х + c,
a – (b + c) = х, то есть
(a – b) – c = a – (b + c).
10) a – (b – c) = a + (– 1)×(b – c) = a + (– 1×b) + (–1)× (– c) = a – 1×b + 1×c = = a – b + c.
Задания для самостоятельного решения
№ 2.1. В правом столбце таблицы найти пары эквивалентные парам, приведённым в левом столбце таблицы.
| а) <7, 5> | 1) <5, 7> |
| б) <2, 3> | 2) <1, 10> |
| в) <10, 10> | 3) <5, 4> |
| г) <6, 2> | 4) <15, 5> |
| 5) <1, 5> | |
| 6) <9, 9> |
Для каждой пары указать ей противоположную.
№ 2.2. Вычислить
а) [<1, 5>] + [ <3, 2>]; б)[<3, 8>] + [<4, 7>];
в) [<7, 4>] – [<8, 3>]; г) [<1, 5>] – [ <3, 2>];
д) [<1, 5>] × [ <2, 2>]; е) [<2, 10>]× [<10, 2>].
№ 2.3. Для модели целых чисел, описанной в данном разделе, проверить коммутативный закон сложения, ассоциативный и коммутативный законы умножения, дистрибутивные законы.
Примеры
a + b i {\displaystyle a+bi} где a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} рациональные числа, i {\displaystyle i} - мнимая единица . Такие выражения можно складывать и перемножать по обычным правилам действий с комплексными числами , и у каждого ненулевого элемента существует обратный, как это видно из равенства (a + b i) (a a 2 + b 2 − b a 2 + b 2 i) = (a + b i) (a − b i) a 2 + b 2 = 1. {\displaystyle (a+bi)\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {(a+bi)(a-bi)}{a^{2}+b^{2}}}=1.} Из этого следует, что рациональные гауссовы числа образуют поле, являющееся двумерным пространством над (то есть квадратичным полем).- Более общо, для любого свободного от квадратов целого числа d {\displaystyle d} Q (d) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} будет квадратичным расширением поля Q {\displaystyle \mathbb {Q} } .
- Круговое поле Q (ζ n) {\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})} получается добавлением в Q {\displaystyle \mathbb {Q} } примитивного корня n -й степени из единицы. Поле должно содержать и все его степени (то есть все корни n -й степени из единицы), его размерность над Q {\displaystyle \mathbb {Q} } равняется функции Эйлера φ (n) {\displaystyle \varphi (n)} .
- Действительные и комплексные числа имеют бесконечную степень над рациональными, поэтому они не являются числовыми полями. Это следует из несчетности: любое числовое поле является счётным .
- Поле всех алгебраических чисел A {\displaystyle \mathbb {A} } не является числовым. Хотя расширение A ⊃ Q {\displaystyle \mathbb {A} \supset \mathbb {Q} } алгебраично, оно не является конечным.
Кольцо целых числового поля
Поскольку числовое поле является алгебраическим расширением поля Q {\displaystyle \mathbb {Q} } , любой его элемент является корнем некоторого многочлена с рациональными коэффициентами (то есть является алгебраическим). Более того, каждый элемент является корнем многочлена с целыми коэффициентами, так как можно домножить все рациональные коэффициенты на произведение знаменателей. Если же данный элемент является корнем некоторого унитарного многочлена с целыми коэффициентами, он называется целым элементом (или алгебраическим целым числом). Не все элементы числового поля целые: например, легко показать что единственные целые элементы Q {\displaystyle \mathbb {Q} } - это обычные целые числа .
Можно доказать, что сумма и произведение двух алгебраических целых чисел - снова алгебраическое целое число, поэтому целые элементы образуют подкольцо числового поля K {\displaystyle K} , называемое кольцом целых поля K {\displaystyle K} и обозначаемое . Поле не содержит делителей нуля и это свойство наследуется при переходе к подкольцу, поэтому кольцо целых целостно ; поле частных кольца O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} - это само поле K {\displaystyle K} . Кольцо целых любого числового поля обладает следующими тремя свойствами: оно целозамкнуто , нётерово и одномерно . Коммутативное кольцо с такими свойствами называется дедекиндовым в честь Рихарда Дедекинда .
Разложение на простые и группа классов
В произвольном дедекиндовом кольце существует и единственно разложение ненулевых идеалов в произведение простых . Однако не любое кольцо целых удовлетворяет свойству факториальности : уже для кольца целых квадратичного поля O Q (− 5) = Z [ − 5 ] {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]} разложение не единственно:
6 = 2 ⋅ 3 = (1 + − 5) (1 − − 5) {\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}Введя на этом кольце норму, можно показать, что эти разложения действительно различны, то есть одно нельзя получить из другого умножением на обратимый элемент .
Степень нарушения свойства факториальности измеряют при помощи группы классов идеалов , эта группа для кольца целых всегда конечна и её порядок называют числом классов.
Базисы числового поля
Целый базис
Целый базис числового поля F степени n - это множество
B = {b 1 , …, b n }из n элементов кольца целых поля F , такое что любой элемент кольца целых O F поля F можно единственным способом записать как Z -линейную комбинацию элементов B ; то есть для любого x из O F существует и единственно разложение
x = m 1 b 1 + … + m n b n ,где m i - обычные целые числа. В этом случае любой элемент F можно записать как
m 1 b 1 + … + m n b n ,где m i - рациональные числа. После это целые элементы F выделяются тем свойством, что это в точности те элементы, для которых все m i целые.
Используя такие иструменты как локализация и эндоморфизм Фробениуса , можно построить такой базис для любого числового поля. Его построение является встроенной функцией во многих системах компьютерной алгебры .
Степенной базис
Пусть F - числовое поле степени n . Среди всех возможных базисов F (как Q -векторного пространства), существуют степенные базисы, то есть базисы вида
B x = {1, x , x 2 , …, x n −1 }для некоторого x ∈ F . Согласно теореме о примитивном элементе , такой x всегда существует, его называют примитивным элементом данного расширения.
Норма и след
Алгебраическое числовое поле является конечномерным векторным пространством над Q {\displaystyle \mathbb {Q} } (обозначим его размерность за n {\displaystyle n} ), и умножение на произвольный элемент поля является линейным преобразованием этого пространства. Пусть e 1 , e 2 , … e n {\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots e_{n}} - какой-нибудь базис F , тогда преобразованию x ↦ α x {\displaystyle x\mapsto \alpha x} соответствует матрица A = (a i j) {\displaystyle A=(a_{ij})} , определяемая условием
α e i = ∑ j = 1 n a i j e j , a i j ∈ Q . {\displaystyle \alpha e_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}e_{j},\quad a_{ij}\in \mathbf {Q} .}
Элементы этой матрицы зависят от выбора базиса, однако от него не зависят все инварианты матрицы, такие как определитель и след . В контексте алгебраических расширений, определитель матрицы умножения на элемент называется нормой этого элемента (обозначается N (x) {\displaystyle N(x)} ); след матрицы - следом элемента (обозначается Tr (x) {\displaystyle {\text{Tr}}(x)} ).
След элемента является линейным функционалом на F :
Tr (x + y) = Tr (x) + Tr (y) {\displaystyle {\text{Tr}}(x+y)={\text{Tr}}(x)+{\text{Tr}}(y)} и Tr (λ x) = λ Tr (x) , λ ∈ Q {\displaystyle {\text{Tr}}(\lambda x)=\lambda {\text{Tr}}(x),\lambda \in \mathbb {Q} } .Норма является мультипликативной и однородной функцией:
N (x y) = N (x) ⋅ N (y) {\displaystyle N(xy)=N(x)\cdot N(y)} и N (λ x) = λ n N (x) , λ ∈ Q {\displaystyle N(\lambda x)=\lambda ^{n}N(x),\lambda \in \mathbb {Q} } .В качестве исходного базиса можно выбрать целый базис , умножению на целое алгебраическое число (то есть на элемент кольца целых ) в этом базисе будет соответствовать матрица с целыми элементами. Следовательно, след и норма любого элемента кольца целых являются целыми числами.
Пример использования нормы
Пусть d {\displaystyle d} - - целый элемент, так как он является корнем приведенного многочлена x 2 − d {\displaystyle x^{2}-d} ). В этом базисе умножению на a + b d {\displaystyle a+b{\sqrt {d}}} соответствует матрица
(a d b b a) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&db\\b&a\end{pmatrix}}}Следовательно, N (a + b d) = a 2 − d b 2 {\displaystyle N(a+b{\sqrt {d}})=a^{2}-db^{2}} . На элементах кольца эта норма принимает целые значения. Норма является гомоморфизмом мультипликативной группы Z [ d ] {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]} на мультипликативную группу Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , поэтому норма обратимых элементов кольца может быть равна только 1 {\displaystyle 1} или − 1 {\displaystyle -1} . Для того, чтобы решить уравнение Пелля a 2 − d b 2 = 1 {\displaystyle a^{2}-db^{2}=1} , достаточно найти все обратимые элементы кольца целых (также называемые единицами кольца ) и выделить среди них имеющие норму 1 {\displaystyle 1} . Согласно теореме Дирихле о единицах , все обратимые элементы данного кольца являются степенями одного элемента (с точностью до умножения на − 1 {\displaystyle -1} ), поэтому для нахождения всех решений уравнения Пелля достаточно найти одно фундаментальное решение.
См. также
Литература
- Х. Кох. Алгебраическая теория чисел . - М. : ВИНИТИ , 1990. - Т. 62. - 301 с. - (Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления».).
- Чеботарев Н.Г. Основы теории Галуа. Часть 2. - М. : Едиториал УРСС, 2004.
- Вейль Г. Алгебраическая теория чисел. Пер. с англ.. - М. : Едиториал УРСС, 2011.
- Serge Lang , Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000
Определение:
Суммой и произведением целых р-адических чисел определяемых последовательностями и, называются целые р-адические числа, определяемые соответственно последовательностями и.
Чтобы быть уверенным в корректности этого определения,мы должны доказать,что последовательности и определяют некоторые целые - адические числа и что эти числа зависят только от, а не от выбора определяющих их последовательностей. Оба эти свойства доказываются путем очевидной проверки.
Очевидно,что при данном нам определении действий над целыми - адическими числами они образуют коммуникативное кольцо, содержащее кольцо целых рациональных чисел в качестве подкольца.
Делимость целых - адических чисел определяется так же,как и в любом другом кольце: , если существует такое целое - адическое число, что
Для исследования свойств деления важно знать, каковы те целые - адические числа,для которых существуют обратные целые - адические числа. Такие числа называют делителями единицы или единицами. Мы их будем называть - адическими единицами.
Теорема 1 :
Целое - адическое число,определяемое последовательностью, тогда и только тогда является единицей, когда.
Доказательство :
Пусть является единицей, тогда существует такое целое - адическое число, что. Если определяется последовательностью то условие означает,что. В частности, а значит, Обратно, пусть Из условия легко следует, что, так что. Следовательно, для любого n можно найти такое, что будет справедливо сравнение. Так как и, то. Это значит, что последовательность определяет некоторое целое - адическое число Сравнения показывают, что, т.е. что является единицей.
Из доказанной теоремы следует, что целое рациональное число. Будучи рассмотрено как элемент кольца, тогда и только тогда является единицей, когда. Если это условие выполнено,то содержится в. Отсюда следует, что любое целое рациональное b делитсяна такое a в,т.е. что любое рациональное число вида b/a, где a и b целые и, содержится в Рациональные числа такого вида называются -целыми. Они образуют очевидным образом кольцо. Полученный нами результат можно теперь сформулировать так:
Следствие:
Кольцо целых - адических чисел содержит подкольцо, изоморфное кольцу - целых рациональных чисел.
Дробные p-адические числа
Определение :
Дробь вида, k >= 0 определяет дробное p -адическое число или просто p -адическое число. Две дроби, и, определяют одно и тоже p -адическое число, если в.
Совокупность всех p -адических чисел обозначается p . Легко проверить, что операции сложения и умножения продолжаются с p на p и превращают p в поле.
2.9. Теорема. Всякое p -адическое число единственным образом представляется в виде
где m -- целое число, а -- единица кольца p .
2.10. Теорема. Всякое отличное от нуля p -адическое число однозначно представляется в виде
Свойства: Поле p-адических чисел содержит в себе поле рациональных чисел. Нетрудно доказать, что любое целое p-адическое число некратное p обратимо в кольце p , а кратное p однозначно записывается в виде, где x не кратно p и поэтому обратимо, а. Поэтому любой ненулевой элемент поля p может быть записан в виде, где x не кратно p, а m любое; если m отрицательно, то, исходя из представления целых p-адических чисел в виде последовательности цифр в p-ичной системе счисления, мы можем записать такое p-адическое число в виде последовательности, то есть, формально представить в виде p-ичной дроби с конечным числом цифр после запятой и, возможно, бесконечным числом ненулевых цифр до запятой. Деление таких чисел можно также производить аналогично «школьному» правилу, но начиная с младших, а не старших разрядов числа.
Опр. Кольцо K называется кольцом целых чисел, если аддитивная группа кольца K является аддитивной группой целых чисел и умножение в кольце K коммутативно и продолжает умножение натуральных чисел (в системе N натуральных чисел).
Т1.
Пусть
Док-во.
Покажем, что алгебра Z есть коммутативное кольцо. По условию, алгебра
Пусть a, b, c – произвольные элементы множества Z. Их можно представить в виде радости натуральных чисел. Пусть (1) a=m-n, b=p-q, c=r-s (m, n, p, q, r, s N).
Естественное умножение в Z определяется формулой (2) a*b=(m-n)*(p-q)=(mp+nq)-(mq+np).
Естественное умножение коммутативно, так как b*a= (p-q)*(m-n)=(pm+qn)-(pn+qm), и коммутативно сложение и умножение натуральных чисел.
Естественное умножение ассоциативно. В самом деле, в силу (1) и (2) имеем:
a*(b*c)=(m-n)[(p-q)(r-s)]=(m-n)[(pr+qs)-(ps-qr)]=(mpr+mqs+nps+nqr)-(mps+mqr+npr+nqs);
(a*b)*c=[(m-n)(p-q)](r-s)=[(mp+nq)-(mq+np)](r-s)=(mpr+nqr+mqs+nps)-(mps+nqs+mqr+npr).
Следовательно, в силу коммутативности сложения натуральных чисел a*(b*c)= (a*b)*c.
Элемент 1 является нейтральным относительно естественного умножения. В самом деле, для любого a из 2 имеем a*1=(m-n)(1-0)=m*1-n*1=m-n=a.
Следовательно, алгебра
Опр.
Если для целых чисел aи bсуществует такое натуральное число k, что a+k=bи k 0,то говорят, что «a меньше или b», и пишут a Т2.
Пусть Z= 2) для любого целого числа a выполняется одно и только одно из трех условий: a<0, a=0, 0 3) отношение < монотонно относительно сложения, т.е. для любых целых a, bи c a 4) отношение <монотонно относительно умножения, т.е. для любых целых a, bи с если a Т. о делении с остатком.
Пусть a – целое число и b – натуральное число, отличное от нуля. Разделить число a и b с остатком – значит представить его в виде a=bq+r, где 0 r Деление с остатком всегда выполнимо, а неполное частное и остаток однозначно определяются делимым и делителем. Т.
Для любых целых чисел a, bпри b>0существует единственная пара целых чисел qи r, удовлетворяющая условиям: (1) a=bq+rи 0 r Док-во.
Докажем, что существует хотя бы одна пара чисел q, r удовлетворяющая условиям (1). Вначале рассмотрим случай, когда a – натуральное число. Фиксируем b и индукцией по a докажем, что (2) существует пара целых чисел q, r, удовлетворяющая (1). Для a=0 утверждение (2) верно, так как 0=b*0+0. Предположим, что (2) верно для a=n, т.е. существуют целые q, rтакие, что (3) n=bq+rи 0 r Наибольший общий делитель.
Целое число c называется общим делителем целых чисел a 1 , …, a n , если cесть делитель каждого из этих чисел. Опр. Наибольшим общим делителем целых чисел a 1 , …, a n называется такой их общий делитель, который делится на любой общий делитель этих чисел. Целые числа a 1 , …, a n называется взаимно простыми, если их наибольший общий делитель чисел равен единице. НОД чисел a 1 , …, a n обозначается НОД(a 1 , …, a n), положительный НОД этих чисел обозначается нод(a 1 , …, a n). След-ие 1. Если d есть НОД целых чисел a 1 , …, a n , то множество всех общих делителей этих чисел совпадает с множеством всех делителей числа d. След-ие 2. Любые два НОД целых чисел a 1 , …, a n ассоциированы, т.е. могут отличаться только знаком. Если d есть НОД чисел a 1 , …, a n , то число (-d) также есть НОД этих чисел. Алгоритм Евклида.
Способ нахождения НОД двух целых чисел. Предложение. Пусть aи b–два целых числа, b≠0 и (1) a=bq+r (0 r<|b|). Тогда нод(a,b)=нод(b,r). Док-во. Из (1) следует, что любой общий делитель чисел aи bесть делитель числа r=a-bqи любой общий делитель чисел bи rесть делитель числа a. Поэтому множество всех общих делителей чисел aи bсовпадает с множеством всех общих делителей чисел bи r. Отсюда следует, что положительный общий делитель чисел aи bсовпадает с положительным общим делителем чисел bи r, т.е. нод(a,b)=нод(b,r). Если b|a, где b≥1, то очевидно, нод(a,b)=b. Для нахождения нод двух целых чисел применяют способ «последовательного деления», называемый алгоритмом Евклида. Сущность этого способа состоит в том, что в силу доказанного выше предложения задача нахождения нод чисел a и bсводится к более простой задаче нахождения нод чисел bи r, где 0≤r<|b|. Если r=0, то нод(a,b)=b. Если же r≠0, то рассуждения повторяем, отправляясь от bи r. В результате получим цепочку равенств. Если a=0, то b=0*c=0 и теорема верна. Если же a≠0, то из (1) следует cd=1. По теореме, из равенства cd=1 следует, что d= 1. Кроме того, a=bd; следовательно, a= b. Доказано. Наименьшее общее кратное.
Целое число cназывается общим кратным целых чисел a 1 , …, a n , если оно делится на каждое из этих чисел. Опр. Наименьшим общим кратным целых чисел a 1 , …, a n называется такое их общее кратное, которое делит любое общее кратное этих чисел. Об-ие: НОК(a 1 , …, a n). Положительное наименьшее общее кратное чисел a 1 , …, a n , отличных от нуля, об-ся через . Сл-ие. Любые два наименьших общих кратных целых чисел a 1 , …, a n ассоциированы в Z, т.е. могут отличаться только знаком. Если число mесть НОК(a 1 , …, a n), то и число (-m) есть НОК(a 1 , …, a n). Сл-ие. Если m – наименьшее общее кратное чисел a 1 , …, a n , то множество всех общих кратных этих чисел совпадает с множеством всех кратных числа m.
